카오스와 프랙탈

(0.38)-0.23

(0.23)-0.38

(1) 프랙탈(Fractal) 이란 무엇인가?

프랙탈이란 전체를 부분 부분으로 나누었을 때 부분안에 전체의 모습을 갖는 무한단계에서의 기하적인 도형이다. 우리가 보는 것은 유한단계의 그림을 보는 것이다. 자기닮음(self-similar, 자기유사성)과 축소에 대한 불변(independent of scale)을 갖는다. 다음 그림은 프랙탈이 아니다.

프랙탈은 무한단계의 그림이다. 실제 존재하지 않는다.

(2) 축소에 대한 불변(프랙탈 차원)

자기닮음 이란 무엇인가? 자기닮음이란 도형의 각 부분들이 전체와 닮은 성질이다. 자기닮음을 지니고 있다고 해서 프랙탈은 아니다. 선, 정사각형, 정육면체, 코흐 곡선에 대해 생각해보자. 차원의 종류는 여러 가지가 있다. 다음은 일반적으로 사용하는 자기닮음 차원을 구하는 방법이다.

: 조각의 개수, : 프랙탈 차원 : 축소율

즉,

도형	조각의 개수(N)	축소율(r)	차원(D)
선분	3 (길이 1인 선분을 3등분 했을때의 개수)	1/3 (길이 1인 선분을 3등했을때의 길이	log3/log3 =1
	6	1/6	log6/log6 =1
	9	1/9	log9/log9 =1
정사각형	(각변을 3등분)	1/3	log9/log3 =2
정사각형	(각변을 6 등분)	1/6	log36/log6 =2
정육면체		1/3	log27/log3 =3
정육면체		1/6	log216/log6 =3
코흐곡선	4	1/3	log4/log3=1.26
	16	1/9	log16/log9=1.26
		1/	log/log=1.26

코흐곡선의 단계

(3) 프랙탈(fractal)이란 단어는 누가 만들었나?

1975년 만델브로트(Mandelbrot)가 '프랙탈한 대상 모양, 우연, 차원'이라는 책을 출판하였다. 이것은 수학과 과학 세계에 충격을 주었다.

프랙탈은 70년대 말부터 물리학자, 지리학자, 건축, 미술, 철학 등의 분야에서 주목을 받았다. 만델브로트는 프랙탈에 대해 많은 연구를 처음 시작한 사람으로 자신이 생각한 형상, 차원 및 기하학에 대한 이름을 생각하고, 라틴어의 '부서지다'라는 뜻의 동사 'frangere'에서 파생한 형용사 'fractus'를 찾았다. fractus란 '온전한 것이 아닌', '어중간한' 뜻이다. 어원이 같은 영어 단어 'fracture'와 'fraction'의 어감도 적절한 것으로 생각했다. 만델브로트는 영어이면서 불어이며, 명사이자 형용사인 'fractal'을 만들었다.

(4) 아핀변환(일차변환+이동)

가.일차변환

ⓛ 일차변환

좌표평면 위의 점 ) 가 점 에 대응되는 변환

에서 가 상수항이 없는 에 대한 일차식

인 관계가 성립할 때, 이변환 를 일차변환이라 하고 위의 관계식을 일차변환 의 변환식 이라고 한다.

② 닮음변환

③ 원점을 중심으로 한 변환

④ 합성변환

두 일차변환 의 합성변환 도 일차변환이다.

나. 아핀변환(일차변환 + 이동)

① 아핀변환은 일차변환을 축 방향으로 , 축 방향으로 만큼 이동시킨 것이다. 이동시킨 점을 P'(, )이라 하면

이다.

다. 아핀변환의 예

1) 아핀변환을 이용하여 고사리를 만드는 처음 단계

다음은( )의 값을 사용한 4개의 아핀변환이다. 오른쪽 그림은 왼쪽의 4개의 변환을 이용하여 엑셀에서 그렸다.

변환

0.00 0.00

0.00 0.27

0.50

0.00

0.50

2.16

-0.14 0.26

0.24 0.22

0.51

-0.04

2.15

1.74

0.18 -0.21

0.21 0.18

0.41

0.09

-0.59

2.39

0.78 0.03

-0.03 0.74

0.11

0.27

3.49

4.85

2) Fantastic Fratals 프로그램을 이용한 합성변환

① 엑셀에서는 일차변환을 하기 위해 ( ) 의 값을 필요로 했지만, Fantastic Fratals에서는 직관적으로 마우스를 이용하여 변환시킬 수 있다.

위 그림의 첫 번째는 정사각형을 마우스로 끌어서 변환시킨 것이다. 새로운운 프레임을 생성하고 변환을 만든다. 만들어진 프레임을 오른쪽 마우스로 눌러서 properties에서 좌표와 길이를 설정할 수 도 있다. 위 그림의 네 번째 그림은 변환을 반복시킨 것이다.

고사리를 만드는 변환

3) 엑셀을 이용한 합성변환

Fantastic Fratals 는 직관적으로 변환을 생성하는 데 도움이 되며, 엑셀은 변환이 일어나는 과정을 이해하는 데 도움이 된다.

① B3에서 G6 사이에 4개의 변환이 있다.

② 셀B10, C10에 임의의 좌표 (x, y) 를 입력한다.

③ A9 열 아래에서는 난수를 발생시켜 변환의 종류를 선택한다.

④ 4000번을 반복한 그림이다.

⑤ B11 셀에는 다음내용을 입력하였다.

"=CHOOSE(A11,$B$3,$B$4,$B$5,$B$6,$B$7)*B10+CHOOSE(A11,$C$3,$C$4,$C$5,$C$6,$C$7)*C10+CHOOSE(A11,$F$3,$F$4,$F$5,$F$6,$F$7)*$A$10 "

(5) GSP 로 프랙탈 도형 그리기

1) 나무 1

① 선분AB를 그린다.

② 점 A를 Mark Center 로 정한다.

③ 점 B를 Dilate 한다. New를 1, Old를 3으로 한다.

점 B를 Dilate 한다. New를 2, Old를 3으로 한다.

④ 점 B'를 Mark Center 로 정한다.

점 B''을 60 Rotate 한다. B'''이 생긴다.

점 B'과 B'''을 연결한다.

⑤ 점 B''를 Mark Center 로 정한다.

점 B을 -60 Rotate(오른쪽) 한다. B'''이 생긴다.

점 B''과 B''''을 연결한다.

⑥ 점A, 점B'을 동시에 누르고 LOOP를 선택한다.

점B', 점B'''을 동시에 누르고 LOOP를 선택한다.

점B', 점B''을 동시에 누르고 LOOP를 선택한다.

점B'', 점B''''을 동시에 누르고 LOOP를 선택한다.

점B'', 점B을 동시에 누르고 LOOP를 선택한다.

⑦ 모든 점을 숨긴다.

⑧ STOP 시킨다.

⑨ 반복 시킨 결과 그림이다.

2) 나무 2

각 단계별 그림이다. 앞의 과정과 유사하다.

3) 나무 3

난수를 이용하여 그렸다. GSP는 일차변환과 L-계를 이용하여 프랙탈 도형을 그릴 수 있는 적절한 도구이다.

Ⅲ. 카오스

(1) 카오스의 성질

수학자들은 와 같은 변환의 반복으로 나타나는 카오스의 세가지 공통 특성에 대하여 일반적으로 동의한다. 세가지 특성은 혼합성, 주기성, 초기 조건에의 민감성이다.

① 혼합성

길이가 0이 아닌 두 구간 , 에 대하여, 반복을 통하여 구간 에 오게되는 점들이 항상 구간 내에 존재한다.

즉, 개구간 , 에 대해 이면 인 양의 정수 가 존재한다. 에서 임의의 두값 0.38 과 0.23 에 대해 살펴보자.

0.38 , 0.23 에 대해 (0.38)0.23099 임을 알 수 있다.

② 주기성

주기성은 가 주기를 가진다는 것은 이다. for , 에서 (0.9349)=0.9359 이므로 5 주기임을 알 수 있다.

0	1	2	3	4	5	6
0.9349	0.2273	0.6569	0.84288	0.49528	0.9349	0.2273

③ 초기조건의 민감성

초기조건에 대한 민감성은 초기점의 위치를 조금만 변화시켜도 반복된 수열에서는 다른 결과를 나타낸다. 다음은 에서 왼쪽은 0.300 ,

오른쪽은 0.3001 에서 시작했다.

0.300, 과 0.3001 에서 차이를 나타낸 그래프이다.

(3) 카오스는 무질서를 의미하는가?

카오스는 두 가지를 의미한다. 하나는 분자들의 움직임처럼 확률적으로 밖에 표현할 수 없는 경우를 비결정론적 카오스라 한다. 요즘은 결정론적인 카오스를 간단히 카오스라 흔히 부른다.

랜덤은 전혀 질서가 없는 상태이다. 카오스의 결정론은 랜덤 일보 직전의 무질서를 의미한다. 시간의 경과에 따라 살펴보자.

① 처음에는 질서정연했다. ② 질서가 무너지기 시작한다. ③ 카오스 ④ 무작위(random)

(4) 파이겐바움 분기도( )

① 0.1 2.90 , 2.90*(1-)2.90*0.1(1-0.1)=0.261,

2.90*0.261(1-0.261)=0.559, 2.90*0.559(1-0.559)=0.715,

② 0.1 3.2 (2주기)

③ 0.1 3.84 (3주기)

④ 0.1 3.50 (4주기)

⑤ 0.1 3.74 (5주기)

⑥ 0.1 3.90 (카오스)

⑦ 분기와 프랙탈

(5) 만델브로트 집합

만델브로트 집합은 복소수 점화식 (간단히 )에서 출발한다. 이다. 의 초기값을 로 하여 점화식을 반복하여 계산한다. 그 결과는 값에 의존한다. 즉 값에 따라 가 하나의 값으로 수렴하기도 하고 여러 값 사이를 순환적으로 맴돌기도 하고 아주 큰 값으로 발산하기도 한다. 만델브로트 집합은 초기값을 로 했을 때 을 발산시키지 않는 복소수 들의 모임이다.

다음 c=0.33 + 0.33 에서 수렴함으로 만델브로트 집합이다.

다음 그림은 만델브로트집합의 수렴과 주기를 나타낸 것이다.